Description
La géométrie hyperbolique est non euclidienne : elle ne vérifie pas le cinquième postulat d’Euclide qui équivaut à affirmer que par un point extérieur à une droite passe une et une seule droite qui lui est parallèle : il en existe une infinité.
La plupart des propriétés de la géométrie qui nous est usuelle ne sont alors plus valables : en particulier le théorème de Pythagore n’est plus vérifié, et la somme des angles d’un triangle est toujours inférieure à 180°.
Les surfaces hyperboliques réalisées en crochet sont un merveilleux outil pour discuter des propriétés d’objets géométriques :
- Qu’est-ce qu’une droite ?
En pliant la surface en deux, on fait émerger des droites, et l’on peut observer la violation du cinquième axiome d’Euclide - Que deviennent les triangles ?
En traçant trois droites qui s’intersectent, on peut observer que la somme des angles d’un triangle est inférieure à π . - Que deviennent les cercles ?
Les cercles dans la géométrie hyperbolique sont des cercles euclidiens mais avec un centre et un rayon différent.
D’autres manipulations peuvent être intéressantes, comme suivre le bord avec ses doigts
afin de se rendre compte de la longueur, ou essayer d’aplanir certaines parties pour les rendre
euclidiennes.
Pour en savoir plus
- Notice courte réalisée par Rose Guillot et Corentin Bergeron dans le cadre d’une Lecture Dirigée.
- Explications détaillées, par les mêmes auteurs.
